Les collisions entre les particules dans les accélérateurs de haute énergie, ou entre deux trous noirs, engendrent des « ondes de diffusion » qui permettent aux physiciens de décrire les interactions élémentaires ou le rayonnement gravitationnel.
Ces interactions sont décrites par une « amplitude de probabilité » de diffusion. Or, le calcul de ces amplitudes de diffusion reste un défi mathématique. Elle s'expriment sous la forme d'« intégrales de Feynman » données par des intégrales multidimensionnelles, associées à des fonctions mathématiques nouvelles. Le travail des physiciens théoriciens consiste à identifier la classe des fonctions concernée et à développer des méthodes efficaces d'évaluation numérique.
Une équipe composée d'Eric Pichon-Pharabod (doctorant à l'IPhT et à l'Inria), Pierre Lairez (Inria), Charles Doran (Université de l'Alberta au Canada), Andrew Harder (Université Lehigh aux États-Unis) et Pierre Vanhove (IPhT) a réalisé des progrès dans ce domaine.
En utilisant des méthodes de la « théorie de Hodge », ils ont pu identifier la géométrie algébrique associée aux intégrales de Feynman, et ainsi, déterminer des équations différentielles satisfaites par ces intégrales, qu'ils ont pu calculer par la suite, en développant de nouveaux algorithmes.
Leurs travaux révèlent que les intégrales de Feynman peuvent être associées à différents objets de la géométrie algébrique :
- courbes hyperelliptiques, elliptiques ou rationnelles,
- surfaces K3,
- variétés de Calabi-Yau.
Ce travail est une généralisation de résultats obtenus dans une étude précédente, menée par certains membres de l'équipe, à un nombre infini de familles d'intégrales de Feynman.
Ces découvertes ont été rendues possibles grâce à des algorithmes efficaces développés par l'équipe de recherche, pour étudier de nombreux cas auparavant inaccessibles avec les outils couramment utilisés en physique.