Les « nombres d'intersection de Witten-Kontsevich » représentent les probabilités de diffusion dans un modèle simplifié au maximum de gravité quantique et de théorie des cordes. Dans ce modèle, la gravité quantique n'est décrite qu'à très basse énergie, et, seul, le phénomène fondamental des fluctuations de topologie de l'Univers y est considéré.
Plus généralement, ces nombres entiers ou rationnels positifs constituent la base de toutes les théories des cordes et de la géométrie algébrique, et notamment d'une de ses branches – la géométrie énumérative des surfaces – qui étudie le nombre de solutions à des questions de géométrie en utilisant les méthodes de la théorie dite de l'intersection.
Mieux encore, la conjecture d'Edward Witten, dont la démonstration a valu la médaille Fields à Maxime Kontsevitch, indique que ces nombres se retrouvent dans presque tous les problèmes de physique mathématique – les matrices aléatoires, la physique statistique sur une surface aléatoire, la propagation des vagues dans un canal ou l'approximation semi-classique des solutions d'équations de Schrödinger – et toutes les théories de champs en physique quantique. Ils jouent notamment un grand rôle dans le modèle de trou noir développé par Jackiw-Teitelboim.
Mais comment calculer ces nombres ? Dispose-t-on de formules ou d'algorithmes performants ? Et comment en calculer une approximation dans la limite dite « des grandes topologies », dans laquelle la « caractéristique d'Euler » – un nombre décrivant un aspect de la topologie d'une surface ou d'un espace – tend vers l'infini ?
Des chercheurs de l'IPhT, Bertrand Eynard, Paolo Gregori, Alessandro Giacchetto, Dimitrios Mitsios, ainsi qu'Elba Garcia-Failde (Sorbonne Université et Université Paris Cité, CNRS) et Danilo Lewański (Université de Trieste), se sont attelés à ces questions.
Ils sont, en particulier, parvenus à produire de nouvelles formules pour calculer les nombres d'intersection, ainsi qu'à estimer leur degré de complexité algorithmique, c'est-à-dire le nombre d'opérations élémentaires nécessaires pour effectuer chaque calcul. Si on fixe le nombre de bords de l'espace (ici, une surface), la complexité algorithmique suit une loi de puissance en fonction de la caractéristique d'Euler.
L'équipe a également contribué à la création d'une communauté internationale en organisant des groupes de travail et des conférences (Les Diablerets 27 fevrier-3 mars 2023 et 13-18 mars 2023).
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